Control Systems and Computers

Ausheva N.M., Kaleniuk O.S., Sydorenko Iu.V. Using exponential Complex Polynomials for Constructing Closed Curves with Given Properties. Control Systems and Computers. 2024. № 3. C. 

УДК 514.18 

Н.М. Аушева, доктор технічних наук, професор, Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського”, просп. Берестейський, 37, м. Київ, Україна, 03056, ORCID: https://orcid.org/0000-0003-0816-2971, nataauscheva@gmail.com

О.С. Каленюк, кандидат технічних наук, Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського”, просп. Берестейський, 37, м. Київ, Україна, 03056, ORCID: https://orcid.org/0009-0009-3141-4840, akalenuk@gmail.com

Ю.В. Сидоренко, кандидат технічних наук, доцент, Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського”, просп. Берестейський, 37, м. Київ, Україна, 03056, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1953-0410, suliko3@ukr.net.

ПОБУДОВА ЗАМКНЕНИХ КРИВИХ ІЗ НАПЕРЕД ЗАДАНИМИ ВЛАСТИВОСТЯМИ ЕКСПОНЕНЦІАЛЬНИМ КОМПЛЕКСНИМ ПОЛІНОМОМ ДІЙСНОГО АРГУМЕНТА

Вступ. Не зважаючи на те, що застосування періодичних поліномів для побудови замкнених кривих є технічно розв’язаною задачею, будь-який періодичний поліном P (t) формує замкнену параметричну криву (Px(t), Py(t)) на площині (Px(t), Py(t), Pz(t)) у просторі, проблема керування виглядом та властивостями таких кривих лишається відкритою. До способів керування виглядом кривих можна віднести завдання контрольних точок, дотичних векторів, а також мінімізацію глобальних властивостей, наприклад, довжини кривої, або максимальної її кривизни.

Мета статті. У даній роботі наводиться спосіб обчислення коефіцієнтів комплексного експоненціального полінома дійсного аргумента, який, при розкладанні його за формулою Ейлера на дійсну та комплексну частки, матиме у дійсному просторі наперед задані інтерполяційні і диференційні властивості. При тому уявні складові точок у вузлах інтерполяції і диференціації матимуть додатковий вплив на вигляд полінома. У роботі показано, що навіть зважаючи на те, що цей вплив досі не вивчено, ми можемо використовувати його для надання поліномові бажаних якостей, наприклад, для мінімізації висоти його графа. Відповідно, при побудові замкненої кривої таким поліномом, ми можемо задавати точки, через які проходить крива, дотичні у цих (чи інших) точках, а також оптимізовувати коефіцієнти покоординатних поліномів у просторі уявних складових вхідних точок і дотичних для надання кривій бажаних якостей, наприклад, мінімізації її довжини чи загальної кривини.

Методи. Математичний аналіз, обчислювальний експеримент.

Результати. Показано спосіб побудови періодичних експоненціальних поліномів у дійсному просторі із наперед задатими властивостями: інтерполяційними точками і похідними у цих точках. Наведено загальний алгоритм оптимізації такого полінома за заданим критерієм. Продемонстровано застосування оптимізованого полінома із наперед заданими властивостями для побудови замкнених кривих, які проходять через контрольні точки, мають визначені дотичні вектори і при тому є оптимізованими за певним наперед заданим критерієм.

Висновки. Застосування експоненціального комплексного полінома дійсного аргумента дозволяє поєднувати аналітичні та чисельні методи при розв’язанні однієї і тієї ж задачі, що, в свою чергу, дозволяє будувати замкнені криві із наперед заданними певними обмеженнями із властивостями, які оптимізуються чисельними методами не порушуючи наперед заданих обмежень.

Завантажити повний текст! (англійською)

Ключові слова: експоненційний комплексний поліном, періодична інтерполяція, замкнена крива, математична оптимізація, мінімізація задальної довжини.

1. Salzer H.E. Coefficients for facilitating trigonometric interpolation. Journal of Mathematics and Physics. 27(1–4). pp. 274–278.
2. Sanchez-Reyes J. Periodic Bézier curves. Computer Aided Geometric Design. 2009. 26(9). pp. 989–1005.
3. Ramanantoanina A., Hormann K. Shape control tools for periodic Bézier curves. Computer Aided Geometric Design. 103. Article 102193, 12 p.
4. Ramanantoanina A., Hormann K. New shape control tools for rational Bézier curve design. Computer Aided Geometric Design. 2021. 88. Article 102003.
5. Fletcher . Practical methods of optimization. NY : Wiley. 1988. 456 p.

Надійшла 12.06.2024